Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為A（a，0）、F（c，0），若直線x=

a2

c

上存在點(diǎn)P使得∠APF=30°，則刻雙曲線的離心率的取值范圍是（　　）

• A、（1，

  3+ 17

  2

  ]
• B、[

  3+ 17

  2

  ，+∞）
• C、（1，2]
• D、[2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線x=

a2

c

與x軸的交點(diǎn)為H，設(shè)P（

a2

c

，t）（t＞0），則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA），運(yùn)用兩角差的正切公式化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式得到a，c的不等式，再由離心率公式轉(zhuǎn)化為e的不等式，解得即可．

解答： 解：設(shè)直線x=

a2

c

與x軸的交點(diǎn)為H，
設(shè)P（

a2

c

，t）（t＞0），
則tan∠APF=tan30°=tan（∠HPF-∠HPA）=

tan∠HPF-tan∠HPA

1+tan∠HPF•tan∠HPA

=

c- a2 c t - a- a2 c t

1+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t2

=

c-a

t+ (c- a2 c )(a- a2 c ) t

≤

c-a

2 (c- a2 c )(a- a2 c )

，
即有

4

3

≤

c2(c-a)2

(c2-a2)(ac-a2)

=

e2(e-1)2

(e2-1)(e-1)

，
即有3e²-4e-4≥0，
解得，e≥2．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查基本不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．