Question

18．某市對(duì)居民在某一時(shí)段用電量（單位：度）進(jìn)行調(diào)查后，為對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)，按照數(shù)據(jù)大、小將數(shù)據(jù)分成A、B、C三組，如表所示：

分組	A	B	C
用電量	（0，80]	（80，250]	（250，+∞）

從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取了10個(gè)數(shù)據(jù)，制成了如圖的莖葉圖：
（Ⅰ）寫出這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差；
（Ⅱ）從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任意取出3個(gè)，其中來自B組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）用抽取的這10個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本估計(jì)全市的居民用電量情況，從全市依次隨機(jī)抽取20戶，若抽到n戶用電量為B組的可能性較大，求n的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖得這10個(gè)數(shù)從小到大為46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，由此能求出這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)和這10個(gè)數(shù)據(jù)的極差．
（Ⅱ）這10個(gè)數(shù)據(jù)中A組中有1個(gè)，B組中有8個(gè)，C組中有1個(gè)，從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任意取出3個(gè)，來自B組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3，分另求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅲ）設(shè)X為從全市依次隨機(jī)抽取20戶中用電量為B組的家庭數(shù)，則X～B（20，$\frac{4}{5}$），由此能求出從全市依次隨機(jī)抽取20戶，若抽到n戶用電量為B組的可能性較大，能求出n．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖得這10個(gè)數(shù)從小到大為：46，81，96，125，133，150，163，187，205，256，
位于中間的兩個(gè)數(shù)是133和150，
∴這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是$\frac{133+150}{2}$=141.5，
這10個(gè)數(shù)據(jù)的極差為：256-46=210．
（Ⅱ）這10個(gè)數(shù)據(jù)中A組中有1個(gè)，B組中有8個(gè)，C組中有1個(gè)，
∴從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任意取出3個(gè)，其中來自B組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的可能取值為1，2，3，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{15}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{0}{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{7}{15}$，
∴ξ的可能取值為：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$

Eξ=$1×\frac{1}{15}+2×\frac{7}{15}+3×\frac{7}{15}$=$\frac{12}{5}$．
（Ⅲ）設(shè)X為從全市依次隨機(jī)抽取20戶中用電量為B組的家庭數(shù)，則X～B（20，$\frac{4}{5}$），
P（X=k）=${C}_{20}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{20-k}$，k=0，1，2，…，20，
設(shè)t=$\frac{P（X=k）}{P（X=k-1）}$=$\frac{{C}_{20}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}（\frac{1}{5}）^{20-k}}{{C}_{20}^{k-1}（\frac{4}{5}）^{k-1}（\frac{1}{5}）^{21-k}}$=$\frac{82-4k}{k}$，
若t＞1，則k＜16.4，P（X=k-1）＜P（X=k）；
若k＜1，則k＞16.4，P（X=k-1）＞P（X=k），
∴當(dāng)k=16或k=17時(shí)，P（X=k）可能最大，
$\frac{P（X=16）}{P（X=17）}$=$\frac{{C}_{20}^{16}（\frac{4}{5}）^{16}（\frac{1}{5}）^{4}}{{C}_{20}^{17}（\frac{4}{5}）^{17}（\frac{1}{5}）^{3}}$=$\frac{17}{16}$＞1，
∴從全市依次隨機(jī)抽取20戶，若抽到n戶用電量為B組的可能性較大，則n=16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位數(shù)和極差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．