3.將正整數(shù)作如下分組:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…,分別計(jì)算各組包含的正整數(shù)的和如下:
S1=1,
S2=2+3=5,
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34,
S5=11+12+13+14+15=65,
S6=16+17+18+19+20+21=111,

記Tn=S2+S4+S6+…+S2n
(1)求T1,T2,T3,T4;
(2)猜想Tn的結(jié)果,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

分析 (1)求得S2,S4,S6,S8,計(jì)算即可得到所求值;
(2)猜想${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$ (n∈N*),用數(shù)學(xué)歸納法證明.注意由假設(shè),證明n=k+1時(shí),運(yùn)用
${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,結(jié)合累加法和等差數(shù)列的求和公式,化簡(jiǎn)整理,即可得證.

解答 解:(1)T1=S2=5.
T2=S2+S4=5+34=39,
T3=S2+S4+S6=5+34+111=150,
T4=S2+S4+S6+S8=5+34+111+260=410.  
(2)猜想${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$ (n∈N*),
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(。┊(dāng)n=1時(shí),${T_1}={1^2}×{(1+1)^2}+\frac{1×(1+1)}{2}=5$,結(jié)論成立;
(ⅱ)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即${T_k}={k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,
那么當(dāng)n=k+1時(shí),則${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$,
又由題意可設(shè)Sn的首項(xiàng)為f(n),則f(n)-f(n-1)=n-1,
可得f(n)=f(1)+(f(2)-f(1))+(f(3)-f(2))+…+(f(n)-f(n-1))
=1+1+2+…+n-1,
可得$f(n)=\frac{n(n-1)}{2}+1$,
故S2k+2為以f(2k+2)為首項(xiàng),前(2k+2)項(xiàng)和,
即${S_{2k+2}}=\frac{(2k+2)(2k+1)(2k+2)}{2}+\frac{(2k+2)(2k+3)}{2}$,
所以${T_{k+1}}={S_{2k+2}}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$
=$\frac{(2k+2)(2k+1)(2k+2)}{2}+\frac{(2k+2)(2k+3)}{2}+{k^2}{(k+1)^2}+\frac{k(k+1)}{2}$
=$(k+1)[{2(k+1)(2k+1)+2k+3+{k^2}(k+1)+\frac{k}{2}}]$
=$(k+1)[{2(k+1)(2k+1)+2k+2+{k^2}(k+1)+\frac{k+2}{2}}]$
=$(k+1)[{(k+1)({k^2}+4k+4)+\frac{k+2}{2}}]$=${(k+1)^2}{(k+2)^2}+\frac{(k+1)(k+2)}{2}$.
所以當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.
綜上(。áⅲ${T_n}={n^2}{(n+1)^2}+\frac{n(n+1)}{2}$(n∈N*).

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法,注意運(yùn)用歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法證明,注意運(yùn)用假設(shè),考查化簡(jiǎn)變形和運(yùn)算能力和推理能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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 分組 A B C
 用電量 (0,80] (80,250] (250,+∞)
從調(diào)查結(jié)果中隨機(jī)抽取了10個(gè)數(shù)據(jù),制成了如圖的莖葉圖:
(Ⅰ)寫(xiě)出這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)和極差;
(Ⅱ)從這10個(gè)數(shù)據(jù)中任意取出3個(gè),其中來(lái)自B組的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)用抽取的這10個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本估計(jì)全市的居民用電量情況,從全市依次隨機(jī)抽取20戶,若抽到n戶用電量為B組的可能性較大,求n的值.

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8.為了了解創(chuàng)建金臺(tái)區(qū)教育現(xiàn)代化過(guò)程中學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況,相關(guān)部門(mén)對(duì)某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.得到如下的統(tǒng)計(jì)表:
滿意不滿意合計(jì)
男生50
女生15
合計(jì)100
已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對(duì)創(chuàng)建工作滿意的概率為$\frac{4}{5}$.
(1)在上表中的空白處填上相應(yīng)的數(shù)據(jù);
(2)是否有充足的證據(jù)說(shuō)明學(xué)生對(duì)創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)?
附:Χ2=$\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,其中n=a+b+c+d.
參考數(shù)據(jù)當(dāng)Χ2≤2.706時(shí),無(wú)充分證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認(rèn)為兩變量無(wú)關(guān)聯(lián);
當(dāng)Χ2>2.706時(shí),有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)Χ2>3.841時(shí),有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)Χ2>6.635時(shí),有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).

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