Question

10．已知平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是3+2i與1+4i，兩對角線AC與BD相交于P點．
（1）求$\overrightarrow{AD}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（2）求$\overrightarrow{DB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（3）求△APB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的基本運算即可求$\overrightarrow{AD}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及復(fù)數(shù)的基本運算即可$\overrightarrow{DB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（3）根據(jù)條件求出復(fù)數(shù)的模長以及根據(jù)三角形的面積公式即可△APB的面積．

解答 解析�。�1）∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=（1，4）-（3，2）=（-2，2），
∴與$\overrightarrow{AD}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+2i．
（2）$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$=（3，2）-（-2，2）=（5，0），
∴與$\overrightarrow{DB}$對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5．
（3）由（1）可知|$\overrightarrow{AD}$|=2$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{13}$，|$\overrightarrow{DB}$|=5，
由余弦定理，求得
cosA=$\frac{8+13-25}{2•2\sqrt{2}•\sqrt{13}}$=$\frac{-4}{4\sqrt{26}}$．
∴cosA=$\frac{-1}{\sqrt{26}}$，∴sinA=$\frac{5}{\sqrt{26}}$．
∴S_△ADB=$\frac{1}{2}$•|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AD}$|•sinA=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{13}$•2$\sqrt{2}$•$\frac{5}{\sqrt{26}}$=5．
∴S_△ADB$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$．

點評 本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，利用復(fù)數(shù)的幾何意義以及余弦定理求三角形的面積．