Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若，證明：當；

(2)設(shè)，若函數(shù)上有2個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1) 當a=1時.. 明確單調(diào)性求出最大值即可；(2)，討論a的范圍，易知當時，沒有零；當時，研究函數(shù)的單調(diào)性，明確圖象與x軸的交點情況即可.

（1）當a=1時..

.

因為，所以，

所以在時單調(diào)遞減，

所以，即.

（2）法一：

（i）當時，沒有零；

（ii）當時，，

當時，；當時，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

故是在上的最小值

①若，即時，在上沒有零點；

②若，即時，在上只有1個零點；

③若，即時，由于，所以在（0，2）上有1個零點，

由（1）知，當時，，

因為，

所以.

故在（2，4a）上有1個零點，因此在上有2個不同的零點。

綜上，在上有2個不同的零點時，a的取值范圍是.

法二：因為，

所以在上零點的個數(shù)即為方程在上根的個數(shù)。

令.

則，

令得x=2.

當時，，當時，，

所以當時，單調(diào)遞增，

當時，單調(diào)遞減，

所以在上的最大值為，

由（1）知，當時，，

即當時，

因為當x無限增大時，→0，所以當x無限增大時，→0，

又因為，所以當且僅當時，

函數(shù)在上的圖象與直線恰好有2個不同的交點，

即當且僅當a>一時，函數(shù)h（x）在（0，+oo）上有2個不同的零點，

故在上有2個不同的零點時，a的取值范圍是