Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{{2^x}-1}|，x＜1\\ 2-x，x≥1\end{array}\right.$，若關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的圖象判斷f（x）=t的解的情況，從而得出關(guān)于t的方程2t²+2bt+1=0的根的分布情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解出b的范圍．

解答 解：作出f（x）的函數(shù)圖象如下：

設(shè)f（x）=t，則當(dāng)t=1或t＜0時(shí)，方程f（x）=t只有1解，
當(dāng)t=0時(shí)，方程f（x）=t有2解，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程f（x）=t有3解，
當(dāng)t＞1時(shí)，方程f（x）=t無(wú)解．
∵關(guān)于x的函數(shù)y=2f²（x）+2bf（x）+1有6個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴關(guān)于t的方程2t²+2bt+1=0在（0，1）上有兩解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4^{2}-8＞0}\\{0＜-\frac{2}＜1}\\{2+2b+1＞0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{3}{2}$＜b＜-$\sqrt{2}$．
故答案為：（-$\frac{3}{2}$，-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于在中檔題．