Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ+=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，那么（3x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

 

（用數(shù)字作答）．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,二項(xiàng)式定理

分析：先把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再結(jié)合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．求出（3x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出r，再代入通項(xiàng)公式即可求出（3x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)．

解答： 解：因?yàn)椋?+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1得：2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n，
∵a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，
∴2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=126
即2ⁿ⁺¹=128=2⁷．
解得n=6．
所以（3x-

1

x

）⁶的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為：（-1）^r3^6-r•C₆^r•x^6-2r．
令6-2r=0，得r=3．
所以（3x-

1

x

）ⁿ的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為：（-1）³•3³•C₆³=-540．
故答案為：-540．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用以及數(shù)列求和公式的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵在于把x=1代入（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，再結(jié)合a₀+a₁+a₂+…+a_n=126，求出n．這也是本題向下做的前提．