Question

某個實(shí)心零部件的形狀是如圖所示的幾何體，其下部是底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺A₁B₁C₁D₁-ABCD，上部是一個底面與四棱臺的上底面重合，側(cè)面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）現(xiàn)需要對該零部件表面進(jìn)行防腐處理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（單位：厘米），每平方厘米的加工處理費(fèi)為2元，需加工處理費(fèi)多少元？
（2）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）計算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面積（除去下底面的面積）S₁，四棱臺A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面積（除去下底面的面積）S₂即可．
（2）計算長方體，棱臺的體積，即可求該幾何體的體積．

解答： 解：（1）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，側(cè)面是全等的矩形，
∴S₁=SA2B2C2D2+S_側(cè)面=10²+4×10×30=1300．
因?yàn)樗睦馀_A₁B₁C₁D₁-ABCD的上、下底面均是正方形，側(cè)面是全等的等腰梯形，
所以S₂=SA1B1C1D1+S_{四個側(cè)面梯形}=202+4×

1

2

(10+20)

132-[ 1 2 (20-10)]2

=1120
于是該實(shí)心零部件的表面積S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工處理費(fèi)為2S=2×2420=4840（元）；
（2）幾何體的體積為10×10×30+

1

3

（100+400+200）

119

=3000+

700 119

3

（cm³）．

點(diǎn)評：考查棱柱、棱臺的側(cè)面積和表面積，著重考查分析轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．