Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2asin2x+4cos²x-3，若對x∈R均有f（x）≥f（-

π

3

）恒成立．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊，且a=2，f（A）=1，求△ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理的應(yīng)用,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）由題意知x=-

π

3

為函數(shù)f（x）的一個最小值點，可得實數(shù)a的值，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由f（A）=1，求出A，利用等面積，表示出r，再利用基本不等式，即可求△ABC的內(nèi)切圓半徑r的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2asin2x+2（2cos²x-1）-1=2asin2x+2cos2x-1
由題意知x=-

π

3

為函數(shù)f（x）的一個最小值點，則有：f(-

π

3

)=-

22+(2a)2

-1⇒2asin(-

2

3

π)+2cos(-

2

3

π)-1=-

22+(2a)2

-1⇒a=

3

，
則f(x)=2

3

sin2x+2cos2x-1=4sin(2x+

π

6

)-1
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈Z)．
（Ⅱ）f(A)=4sin(2A+

π

6

)-1=1⇒sin(2A+

π

6

)=1⇒2A+

π

6

=

5π

6

⇒A=

π

3

設(shè)△ABC的面積為S，則

1

2

(a+b+c)r=S，即r=

2S

a+b+c

=

bcsinA

a+b+c

=

3

2

•

bc

b+c+2

由余弦定理有：b2+c2-a2=2bccosA=bc⇒(b+c)2-4=3bc⇒bc=

(b+c)2-4

3

則r=

3

6

•

(b+c)2-4

b+c+2

=

3

6

•

(b+c+2)(b+c-2)

b+c+2

=

3

6

•(b+c-2)
由（b+c）²-4=3bc可得(b+c)2-4≤3•(

b+c

2

)2即b+c≤4，
從而r=

3

6

•(b+c-2)≤

3

6

•(4-2)=

3

3

，即rmax=

3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取得．

點評：本題考查余弦定理，考查三角函數(shù)的化簡，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．