【題目】如圖,在三棱錐是正三角形,為其中心.面,的中點(diǎn),.

(1)證明:

(2)求與面所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】試題分析:

(1)連結(jié),由重心的性質(zhì)可得在中有,則,結(jié)合線面平行的判定定理可得平面.

(2)解法一:作 的延長線于,作 的延長線于,由題意可得與面所成角,.

解法二:以中點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系.可得,面的法向量為,則所求角的正弦值.

試題解析:

(1)連結(jié),因為是正三角形的中心,所以上且,又,所以在中有

所以,又平面, 平面,

所以平面.

(2)解法一:作 的延長線于,作 的延長線于

由面,所以,又 ,所以

所以,所以面,作,則

連結(jié),則與面所成角,

,即所求角的正弦值為.

解法二:以中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

,

,,

,,.

設(shè)面的法向量為,則

,

,即所求角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在正方體中, 在線段上運(yùn)動且不與 重合,給出下列結(jié)論:

平面;

二面角的大小隨點(diǎn)的運(yùn)動而變化;

三棱錐在平面上的投影的面積與在平面上的投影的面積之比隨點(diǎn)的運(yùn)動而變化;

其中正確的是(

A. ①③④ B. ①③

C. ①②④ D. ①②

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【題目】將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖, 弧AC 長為 ,弧A1B1 長為 ,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).

(1)求圓柱的體積與側(cè)面積;
(2)求異面直線O1B1與OC所成的角的大小.

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【題目】某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)X的分布列為

X

1

2

3

4

5

P

0.4

0.2

0.2

0.1

0.1

商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為250元;分4期或5期付款,其利潤為300元.Y表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.

(1)求事件:“購買該商品的3位顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);

(2)求Y的分布列及E(Y).

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【題目】已知 R,函數(shù) =
(1)當(dāng) 時,解不等式 >1;
(2)若關(guān)于 的方程 + =0的解集中恰有一個元素,求 的值;
(3)設(shè) >0,若對任意 ,函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過1,求 的取值范圍.

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【題目】拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之差為,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn).

(1)求拋物線的方程;

(2)若的面積為,求直線的方程.

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【題目】如圖,在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距海里的處有一艘走私船,在處北偏西方向,距海里的處的我方輯私船奉命以海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以海里/小時的速度,以處向北偏東方向逃竄.問:輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時間.

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【題目】下列四個類比中,正確的個數(shù)為

(1)若一個偶函數(shù)在R上可導(dǎo),則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)。將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為:若一個奇函數(shù)在R上可導(dǎo),則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。

(2)若雙曲線的焦距是實軸長的2倍,則此雙曲線的離心率為2.將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為:若橢圓的焦距是實軸長的一半,則此橢圓的離心率為.

(3)若一個等差數(shù)列的前3項和為1,則該數(shù)列的第2項為.將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為:若一個等比數(shù)列的前3項積為1,則該數(shù)列的第2項為1

(4)在平面上,若兩個正三角形的邊長比為1:2,則它們的面積比為1:4.將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為:在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1:2,則它們的體積比為1:8.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,△內(nèi)接于圓,是圓的直徑,四邊形為平行四邊形,平面,.

(1)求證:⊥平面

(2)設(shè),表示三棱錐的體積,求函數(shù)的解析式及最大值.

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