Question

19．對于一個數(shù)學(xué)問題“”a+b=1，a、b∈R⁺，求$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$的最小值”．
學(xué)生甲這樣考慮：由a+b=1≥2$\sqrt{ab}$⇒ab≤$\frac{1}{4}$⇒$\frac{1}{ab}$≥4⇒$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$≥4$\sqrt{2}$，答案為4$\sqrt{2}$；
學(xué)生乙從另一個角度考慮：$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=$\frac{a+b}{a}$+$\frac{2a+2b}$=3+$\frac{a}$+$\frac{2a}$≥3+2$\sqrt{2}$，由此得答案為3+2$\sqrt{2}$．
你認為哪一個結(jié)果正確？請說明理由．

Answer 1

分析 應(yīng)用基本不等式需判斷等號成立的條件，可以看出甲的計算中，$a+b≥2\sqrt{ab}$和$\frac{1}{a}+\frac{2}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$等號不能同時取到，從而說明甲的結(jié)果錯誤，而乙中的等號是可以取到的，便說明乙的結(jié)果正確．

解答 解：乙的結(jié)果正確；
對于甲$a+b=1≥2\sqrt{ab}$，等號成立的條件是“a=b”；
而$\frac{1}{a}+\frac{2}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$的等號成立的條件是“$\frac{1}{a}=\frac{2}$”；
顯然這兩個等號不能同時取到；
∴甲的結(jié)果錯誤；
而對于乙，$\frac{a}=\frac{2a}$時取“=”，等號是可以取到的；
∴乙的結(jié)果正確．

點評 考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)用基本不等式要判斷等號能否取到，以及要注意等號成立的條件．