Question

2．已知正四棱錐P-ABCD如圖．
（Ⅰ）若其正視圖是一個邊長分別為$\sqrt{3}$、$\sqrt{3}$，2的等腰三角形，求其表面積S、體積V；
（Ⅱ）設(shè)AB中點為M，PC中點為N，證明：MN∥平面PAD．

Answer 1

分析 （I）作出棱錐的高和斜高，利用勾股定理求出棱錐的高，代入面積，體積公式計算；
（II）取PD的中點Q，證明AMNQ是平行四邊形得出MN∥AQ，于是MN∥平面PAD．

解答 解：（I）過P作PE⊥CD于E，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，
則PE⊥CD，E為CD的中點，O為正方形ABCD的中心．
∵正四棱錐的正視圖是一個邊長分別為$\sqrt{3}$、$\sqrt{3}$，2的等腰三角形，
∴PE=$\sqrt{3}$，BC=CD=2，
∴OE=$\frac{1}{2}BC=1$，∴PO=$\sqrt{P{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴正四棱錐的表面積S=S_{正方形ABCD}+4S_△PCD=2²+4×$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=4+4$\sqrt{3}$．
正四棱錐的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•PO$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
（II）過N作NQ∥CD，連結(jié)AQ，
∵N為PC的中點，∴Q為PD的中點，
∴NQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，又AM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$CD，
∴AM$\stackrel{∥}{=}$NQ，
∴四邊形AMNQ是平行四邊形，
∴MN∥AQ，又MN?平面PAD，AQ?平面PAD，
∴MN∥平面PAD．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，體積，表面積的計算，線面平行的判定，屬于中檔題．