Question

已知函數(shù)f（x）=ln（

1

2

+

ax

2

）+x²-ax（a為常數(shù)，a＞0）．
（1）若x=

1

2

是函數(shù)f（x）的一個極值點，求a的值；
（2）求證：當0＜a≤2時，f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若對任意的a∈（1，2）總存在x₀∈[1，2]，使不等式f（x₀）＞m（1-a²）成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過f′（

1

2

）=0，解出a的值即可；
（2）當x≥

1

2

時，x-

a2-2

2a

≥0，又

2ax

1+ax

＞0，得到f′（x）≥0，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，通過討論函數(shù)g（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）的單調(diào)性，從而求出m的范圍．

解答： 解：f′（x）=

1 2 a

1 2 + 1 2 ax

+2x-a=

2ax(x- a2-2 2a )

1+ax

（1）由已知，得 f′（

1

2

）=0且

a2-2

2a

≠0，∴a²-a-2=0，
∵a＞0，∴a=2；
（2）當0＜a≤2時，
∵

a2-2

2a

-

1

2

=

(a-2)(a+1)

2a

≤0，∴

1

2

≥

a2-2

2a

，
∴當x≥

1

2

時，x-

a2-2

2a

≥0，又

2ax

1+ax

＞0，∴f′（x）≥0，
故f（x）在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（3）a∈（1，2）時，由（2）知，f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a，
于是問題等價于：對任意的a∈（1，2），不等式ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1）＞0恒成立，
記g（a）=ln（

1

2

+

1

2

a）+1-a+m（a²-1），（1＜a＜2）
則g′（a）=

1

1+a

-1+2ma=

a

1+a

[2ma-（1-2m）]，
當m≤0時，2ma-1+2m＜0，∴g’（a）＜0，
∴g（a）在區(qū)間（1，2）上遞減，
此時，g（a）＜g（1）=0，∴m≤0時不可能使g（a）＞0恒成立，故必有m＞0，
∴g′（a）=

2ma

1+a

[a-（

1

2m

-1）]．
若

1

2m

-1＞1，可知g（a）在區(qū)間（1，min{2，

1

2m

-1}）上遞減，
在此區(qū)間上，有g(shù)（a）＜g（1）=0，與g（a）＞0恒成立矛盾，
故

1

2m

-1≤1，這時，g′（a）＞0，g（a）在（1，2）上遞增，
恒有g(shù)（a）＞g（1）=0，滿足題設要求，
∴

m＞0 1 2m -1≤1

，即m≥

1

4

，
∴實數(shù)m的取值范圍為[

1

4

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了導數(shù)的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．