Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)

（1）在所給圖中畫(huà)出平面與平面的交線(不必說(shuō)明理由)

（2）證明:平面

（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)證明；(3)

【解析】

(1)連接交于，即可得到平面與平面的交線;
(2)根據(jù)線面平行的判定定理即可證明:平面；
(3)建立坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法進(jìn)行求解.

（1）連接交于，連接

則直線即為平面與平面的交線

（2）證明：∵分別是的中點(diǎn)

∴MEB

又∵平面，平面

∴ 平面

（3）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸軸軸，建立空間直角坐標(biāo)系

因?yàn)?/span>，

所以

所以

設(shè)平面的法向量

所以從而有

即 不妨令

得到平面的一個(gè)法向量(1,0,2)

同理可求得平面的一個(gè)法向量(-1,2,2)

因?yàn)?/span>

所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.