Question

5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，M為BC的中點，BM=MC=2，AM=b-c，則△ABC面積最大值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠AMB=α，則∠AMC=π-α，在△AMB與△AMC中，分別利用余弦定理可得：c²=2²+（b-c）²-4（b-c）cosα，b²=2²+（b-c）²-4（b-c）cos（π-α），化為b²+c²-4bc+8=0，可得cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，利用△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：在△ABC中，∵角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，M是BC的中點，
若a=4，AM=b-c，設(shè)∠AMB=α，則∠AMC=π-α，
則c²=2²+（b-c）²-4（b-c）cosα，b²=2²+（b-c）²-4（b-c）cos（π-α），
∴b²+c²=8+2（b-c）²，即b²+c²-4bc+8=0，
故cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-16}{2bc}$=$\frac{2bc-12}{bc}$，
故sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{2bc-12}{bc}）^{2}}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$$\sqrt{-3（bc-8）^{2}+48}$≤2$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)bc=8時取等號．
即△ABC的面積的最大值為$2\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了余弦定理、二次函數(shù)的單調(diào)性、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．