Question

20．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上一點P（3，a）到焦點的距離為5．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）已知直線l過定點P（-3，1），斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線只有一個公共點，并寫出相應直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線上一點P（3，a）到焦點的距離為5，結合拋物線的定義，即可求拋物線的標準方程；
（2）設出直線l的方程為y-1=k（x+3），與拋物線方程聯(lián)立化為關于x的一元二次方程，分類討論，求出判別式等于0時k的取值，即可得出結論．

解答 解：（1）由已知設所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），則準線方程為$x=-\frac{p}{2}$．
由定義知$\frac{p}{2}$+3=5，得p=4，
故所求方程為y²=8x．    …（4分）
（2）設直線l的方程為y-1=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+3）\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消去x整理得ky²-8y+24k+8=0
若k=0，則解得$x=\frac{1}{8}$，y=1，
直線l與拋物線相交于一點（$\frac{1}{8}$，1），直線l的方程為y=1．
若k≠0，則由題意知△=64-4k（24k+8）=0，
化簡整理得3k²+k-2=0，解得k=-1或$k=\frac{2}{3}$．
此時直線l與拋物線相切于一點．
當k=-1時，直線l的方程為x+y+2=0；
當$k=\frac{2}{3}$時，直線l的方程為2x-3y+9=0．
綜上所述，所求的k=0或k=-1或$k=\frac{2}{3}$，相應的直線方程分別為y=1、x+y+2=0、2x-3y+9=0．  …（12分）

點評 本題考查軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，重點是做到正確分類，是中檔題．