Question

20．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，拋物線上一點(diǎn)P（3，a）到焦點(diǎn)的距離為5．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線l過定點(diǎn)P（-3，1），斜率為k，當(dāng)k為何值時，直線l與拋物線只有一個公共點(diǎn)，并寫出相應(yīng)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用拋物線上一點(diǎn)P（3，a）到焦點(diǎn)的距離為5，結(jié)合拋物線的定義，即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出直線l的方程為y-1=k（x+3），與拋物線方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，分類討論，求出判別式等于0時k的取值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知設(shè)所求拋物線的方程為y²=2px（p＞0），則準(zhǔn)線方程為$x=-\frac{p}{2}$．
由定義知$\frac{p}{2}$+3=5，得p=4，
故所求方程為y²=8x．    …（4分）
（2）設(shè)直線l的方程為y-1=k（x+3），
由$\left\{\begin{array}{l}y-1=k（x+3）\\{y^2}=8x\end{array}\right.$，消去x整理得ky²-8y+24k+8=0
若k=0，則解得$x=\frac{1}{8}$，y=1，
直線l與拋物線相交于一點(diǎn)（$\frac{1}{8}$，1），直線l的方程為y=1．
若k≠0，則由題意知△=64-4k（24k+8）=0，
化簡整理得3k²+k-2=0，解得k=-1或$k=\frac{2}{3}$．
此時直線l與拋物線相切于一點(diǎn)．
當(dāng)k=-1時，直線l的方程為x+y+2=0；
當(dāng)$k=\frac{2}{3}$時，直線l的方程為2x-3y+9=0．
綜上所述，所求的k=0或k=-1或$k=\frac{2}{3}$，相應(yīng)的直線方程分別為y=1、x+y+2=0、2x-3y+9=0．  …（12分）

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，重點(diǎn)是做到正確分類，是中檔題．