Question

7．推導(dǎo)直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切．

Answer 1

分析 對B分類討論：利用△=0即可得出．

解答 解：當(dāng)B=0，A≠0時，直線Ax+By+C=0化為x=$-\frac{C}{A}$，當(dāng)且僅當(dāng)-$\frac{C}{A}$=±a，即$\frac{C}{A}$=±a時，直線與橢圓相切；
當(dāng)B≠0時，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為（a²A²+b²B²）x²+2a²ACx+a²C²-a²b²B²=0，
∵直線與橢圓相切可得：△=4a⁴A²C²-4（a²A²+b²B²）（a²C²-a²b²B²）=0，
化為C²=a²A²+b²B²，
當(dāng)B=0時，上式也成立．
反之也成立．
綜上可得：直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相切的充要條件為C²=a²A²+b²B²．

點(diǎn)評 本題考查了直線與橢圓相切的充要條件、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．