Question

14．底面邊長為2，側棱長為$\sqrt{3}$的正四棱錐的體積為$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 作出棱錐的高，則頂點在底面的射影為底面中心，利用正方形的性質可求出底面中心到底面頂點的距離，借助勾股定理求出棱錐的高，代入體積公式計算．

解答 解：取底面中心O，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SO，AO，
∵四棱錐S-ABCD為正四棱錐，
∴SO⊥平面ABCD，∵AO?平面ABCD，
∴SO⊥AO．
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=1，∠OAE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
∴OE=AE=1，
∵OE²+AE²=AO²，
∴AO=$\sqrt{2}$，∵SA=$\sqrt{3}$，
∴SO=$\sqrt{S{A}^{2}-A{O}^{2}}$=1．
V=$\frac{1}{3}$•S_ABCD•SO=$\frac{1}{3}$•2²•1=$\frac{4}{3}$．
故答案為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了正三棱錐的結構特征和體積計算，屬于基礎題．