Question

求下列函數(shù)在指定的閉區(qū)間上的最大值和最小值
（1）F（x）=2x³-17x²+42x-28，[1，5]；
（2）G（x）=e^x（x²-4x+3），[-3，2]．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）F′（x）=6x²-34x+42=2(x-

17- 37

6

)(x-

17+ 37

6

)．x∈[1，5]．
令F′（x）=0，解得x1=

17- 37

6

，x2=

17+ 37

6

．
列表如下：

x	[1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，5]
F′（x）	+	0	-	0	+
F（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知函數(shù)F（x）單調(diào)性，因此需要計(jì)算以下函數(shù)值：F（1）=-1，F(xiàn)（x₂）＞-1，因此F（x）的最小值為-1；F（5）=7，F(xiàn)（x₁）＜7，因此函數(shù)F（x）的最大值為7．
（2）G′（x）=e^x（x²-2x-1）=ex[x-(1+

2

)][x-(1-

2

)]，x∈[-3，2]．
令G′（x）＞0，解得-3≤x＜1-

2

，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞增；
令G′（x）＜0，解得1-

2

＜x≤2，此時(shí)函數(shù)G（x）單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=1-

2

時(shí)，函數(shù)G（x）取得最大值，G(1-

2

)=e1-

2

(2+2

2

)．
又G（-3）=

24

e3

，G（2）=-e²，
∴函數(shù)G（x）的最小值為-e²．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．