Question

【題目】已知圓N經(jīng)過點A（3，1），B（﹣1，3），且它的圓心在直線3x﹣y﹣2=0上．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）求圓N關(guān)于直線x﹣y+3=0對稱的圓的方程．
（Ⅲ）若點D為圓N上任意一點，且點C（3，0），求線段CD的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知可設(shè)圓心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|，
從而有 = ，解得：a=2．
于是圓N的圓心N（2，4），半徑r= ．
所以，圓N的方程為（x﹣2）2+（y﹣4）2=10．
（Ⅱ）N（2，4）關(guān)于x﹣y+3=0的對稱點為（1，5），
所以圓N關(guān)于直線x﹣y+3=0對稱的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣5）2=10
（Ⅲ）設(shè)M（x，y），D（x1 ， y1），則由C（3，0）及M為線段CD的中點得： ．
又點D在圓N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上，所以有（2x﹣3﹣2）2+（2y﹣4）2=10，
化簡得： ．
故所求的軌跡方程為
【解析】（Ⅰ）首先設(shè)出方程，將點坐標代入得到關(guān)于參數(shù)的方程組，通過解方程組得到參數(shù)值，從而確定其方程；（Ⅱ）求出N（2，4）關(guān)于x﹣y+3=0的對稱點為（1，5），即可得到圓N關(guān)于直線x﹣y+3=0對稱的圓的方程；（Ⅲ）首先設(shè)出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程．