Question

18．已知復(fù)數(shù)z滿足：z+|z|-4-2i=0
（1）求z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)；
（2）求$\frac{（1+i）^{2}z}{（2+i）^{2}}$的共軛復(fù)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、復(fù)數(shù)相等即可得出．
（2）利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出．

解答 解：（1）設(shè)z=x+yi（x，y∈R），∵z+|z|-4-2i=0，
∴x+yi+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$-4-2i=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}-4=0}\\{y-2=0}\end{array}\right.$，解得y=2，x=$\frac{3}{2}$．
∴z=$\frac{3}{2}$+2i．
其在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為$（\frac{3}{2}，2）$．
（2）由（1）知z=$\frac{3}{2}$+2i．
∴$\frac{（1+i）^{2}z}{（2+i）^{2}}$=$\frac{2i（\frac{3}{2}+2i）}{3+4i}$=$\frac{-4+3i}{3+4i}$=i，
其共軛復(fù)數(shù)為-i．
∴所求共軛復(fù)數(shù)為-i．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．