【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若恒成立,求的取值范圍;
(Ⅱ)設,,(為自然對數(shù)的底數(shù)).是否存在常數(shù),使恒成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】試題分析: (Ⅰ)利用函數(shù)的導數(shù)求出函數(shù)的最小值,根據最小值大于 就能 求出 的取值范圍;(Ⅱ)此恒成立問題轉化為 小于等于 的最小值,在求函數(shù)的最小值時,運用了二次求導.
試題解析:(Ⅰ)由已知得,的定義域為,且
當時,恒成立,
∴,由得,
得的取值范圍為.
(Ⅱ)由已知得,,其定義域為.
,
∵,∴在上單調遞減,在上單調遞增,
∴,
令,則,
再令,則
∵,∴.
∴在上單調遞減,∴
∴,且,
即存在,使在上單調遞增,在上單調遞減,
則的最小值就是和中較小的那個,
又,∴,
∴恒成立,即
∴存在實數(shù)使恒成立,取值范圍為.
點睛:本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與最值,對數(shù)函數(shù)的性質及分類討論思想,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性時要注意先求函數(shù)的定義域,若所求的導數(shù)含有參數(shù),在進行討論時要做到分類標準統(tǒng)一,對參數(shù)的討論要不重不漏.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解某校高三學生的視力情況,隨機地抽查了該校1000名高三學生的視力情況,得到頻率分布直方圖,如圖,由于不慎將部分數(shù)據丟失,但知道前4組的頻數(shù)成等比數(shù)列,后6組的頻數(shù)成等差數(shù)列,設最大頻率為,視力在4.6到5.0之間的學生數(shù), 的值分別為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷,某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動,規(guī)定一次購物付款總額:(1)如果不超過200元,則不予優(yōu)惠;(2)如果超過200元,但不超過500元,則按標價給予9折優(yōu)惠;(3)如果超過500元,其中500元按第(2)條給予優(yōu)惠,超過500元的部分給予7折優(yōu)惠。小張兩次去購物,分別付款168元和423元,假設她一次性購買上述同樣的商品,則應付款額為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種,若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準保費)統(tǒng)一為元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就是越高,具體浮動情況如下表:
交強險浮動因素和浮動費率比率表 | ||
浮動因素 | 浮動比率 | |
上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮10% | |
上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機構為了 某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:
類型 | ||||||
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(1)按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定,,記為某同學家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求的分布列與數(shù)學期望;(數(shù)學期望值保留到個位數(shù)字)
(2)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車,假設購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應市政府“綠色出行”的號召,王老師每個工作日上下班由自駕車改為選擇乘坐地鐵或騎共享單車這兩種方式中的一種出行.根據王老師從2017年3月到2017年5月的出行情況統(tǒng)計可知,王老師每次出行乘坐地鐵的概率是0.4,騎共享單車的概率是0.6.乘坐地鐵單程所需的費用是3元,騎共享單車單程所需的費用是1元.記王老師在一個工作日內上下班所花費的總交通費用為X元,假設王老師上下班選擇出行方式是相互獨立的.
(I)求X的分布列和數(shù)學期望;
(II)已知王老師在2017年6月的所有工作日(按22個工作日計)中共花費交通費用110元,請判斷王老師6月份的出行規(guī)律是否發(fā)生明顯變化,并依據以下原則說明理由.
原則:設表示王老師某月每個工作日出行的平均費用,若,則有95%的把握認為王老師該月的出行規(guī)律與前幾個月的出行規(guī)律相比有明顯變化.(注: )
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,設△ABC的頂點分別為,圓M是△ABC的外接圓,直線的方程是,
(1)求圓M的方程;
(2)證明:直線與圓M相交;
(3)若直線被圓M截得的弦長為3,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題滿分12分)為了解某校學生暑期參加體育鍛煉的情況,對某班M名學生暑期參加體育鍛煉的次數(shù)進行了統(tǒng)計,得到如下的頻率分布表與直方圖:
組別 | 鍛煉次數(shù) | 頻數(shù)(人) | 頻率 |
1 | 2 | 0.04 | |
2 | 11 | 0.22 | |
3 | 16 | ||
4 | 15 | 0.30 | |
5 | |||
6 | 2 | 0.04 | |
[ | 合計 | 1.00 |
(1)求頻率分布表中、、及頻率分布直方圖中的值;
(2)求參加鍛煉次數(shù)的眾數(shù)(直接寫出答案,不要求計算過程);
(3)若參加鍛煉次數(shù)不少于18次為及格,估計這次體育鍛煉的及格率。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),且f(2)=.
(1)求實數(shù)m和n的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的單調性,并加以證明.
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