Question

【題目】在四棱錐中，，，和都是邊長為2的等邊三角形，設在底面的射影為.

（1）求證：是中點；

（2）證明：；

（3）求點到面的距離.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

【解析】試題分析:（1）根據等邊三角形有，依題意有平面，故，由此可知為中點.（2）由平面可得，而，即，故平面，故.（3）利用等體積法,利用（2）的結論，可求得兩個面積的表達式，進而求得點到面的距離.

試題解析：（1）證明：∵和都是等邊三角形，

∴，

又∵底面，

∴，

則點為的外心，又因為是直角三角形，

∴點為中點.

（2）證明：由（1）知，點在底面的射影為點，點為中點，

于是面，

∴，

∵在中，，，

∴，

又，∴，

從而即，

由，得面，

∴.

（3）∵，

∴是平行四邊形，

在中，∵，∴，

由（2）知：面，，

由，，

∴，

∴，

.

設點到面的距離為，由等體積法，

∴，

∴.

即點到面的距離為1.