Question

已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為20cm，當(dāng)圓錐的高為多少時(shí)體積最大？最大體積是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，表示出圓錐的體積，利用但是判斷函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值即可．

解答： 解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則r²+h²=20²，即r²=400-h²，
圓錐的體積為：V=

1

3

πr2h=

1

3

π(400h-h3)．（0＜h＜20）．
∴V′=

1

3

π(400-3h2)=π(h+

20 3

3

)(h-

20 3

3

)，
當(dāng)h變化時(shí)，V′（h），V（h）的變化情況如下表：

h	（0， 20 3 3 ）	20 3 3	( 20 3 3 ，20)
V′（h）	+	0	-
V（h）	↑	16000 3 π 27	↓

由上表可知，當(dāng)h=

20 3

3

時(shí)，V（h）有最大值

16000 3 π

27

．
答：當(dāng)圓錐的高為

20 3

3

cm時(shí)體積最大，最大體積是

16000 3 π

27

，cm³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值的基本方法，考查計(jì)算能力．