Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-1-ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試探究函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)，若存在，請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別討論①當(dāng)a≤0時(shí)②當(dāng)a＞0時(shí)的情況從而得出結(jié)論，（2）f（x）-xlnx定義域?yàn)椋?，+∞），由F（x）=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，從而h（x）≥h（1）=e-1，由e^x-1＞x?

ex-1

x

＞1，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（x）=e^x-1-ax，
∴f′（x）=e^x-a，
①當(dāng)a≤0時(shí)，則?x∈R，有f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0⇒x＞ln，f′（x）＜0⇒x＜lna，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna），
綜合①②的當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞），
當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，lna），
（2）函數(shù)F（x）=f（x）-xlnx定義域?yàn)椋?，+∞），
又F（x）=0⇒a=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
令h（x）=

ex-1

x

-lnx，x＞0，
則h′（x）=

(ex-1)(x-1)

x2

，x＞0，
∴h′（x）＞0⇒x＞1，h′（x）＜0⇒0＜x＜1，
故函數(shù)h（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴h（x）≥h（1）=e-1，
有由（1）知當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)?x＞0，有f（x）＞f（lna）=0，
即e^x-1＞x?

ex-1

x

＞1，
∴當(dāng)x＞0且x趨向0時(shí)，h（x）趨向+∞，
隨著x＞0的增長(zhǎng)，y=e^x-1的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=x²的增長(zhǎng)速度，
而y=lnx的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢．
故當(dāng)x＞0且x趨+∞時(shí)，h（x趨向+∞．
得到函數(shù)h（x）的草圖如圖所示：
故①當(dāng)a＞e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；
③當(dāng)a=e-1時(shí)，函數(shù)F（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的判判定，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．