Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄，并猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：數(shù)列{S_n}不是等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．a(chǎn)₂=$\sqrt{2}$-1，同理可得：a₃=$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，a₄=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，歸納猜想：a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\sqrt{2}$，S₃=S₂+a₃=$\sqrt{3}$，假設(shè)數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列，則S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列，推出矛盾．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n-1}$，n∈N^*．
∴a₂=$\sqrt{2}$-1，同理可得：a₃=$\sqrt{3}$$-\sqrt{2}$，a₄=$\sqrt{4}-\sqrt{3}$，…，
歸納猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得：S₁=a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\sqrt{2}$，S₃=S₂+a₃=$\sqrt{3}$，
假設(shè)數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列，
則S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列，
所以S₁+S₃=2S₂，
即1+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{2}$，
兩邊平方得$\sqrt{3}$=2
這顯然不成立，所以假設(shè)錯(cuò)誤，所以數(shù)列{S_n}不是等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、反證法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．