Question

19．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，則數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和T_n=（　�。�

• A． （2ⁿ-1）²
• B． 4ⁿ-1
• C． $\frac{{4}^{n}-1}{3}$
• D． $\frac{{4}^{n+1}-4}{3}$

Answer 1

分析 等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，可得：a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²-1=3，解得a₂．利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ-1，∴a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²-1=3，解得a₂=2．
∴公比q=2．
∴a_n=2^n-1．
∴${a}_{n}^{2}$=4^n-1，
則數(shù)列{a_n²}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為4．
其前n項(xiàng)和T_n=$\frac{{4}^{n}-1}{4-1}$=$\frac{{4}^{n}-1}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．