Question

已知函數(shù)f（x）=x-

2

x

-mlnx（m∈R）．
（Ⅰ）若m=4，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求g（x）=f（x）+（m+3）lnx+1的零點個數(shù)．（ln2≈0.693，ln3≈1.099）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）將m=4代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，則有k=f′（1）=-1，且f（1）=1，代入切線方程即可，
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導數(shù)，由題意得出有f′（x）≥0，通過討論m的范圍，解不等式求出即可，
（Ⅲ）先求出g（x）=x-

2

x

+1-3lnx，則g′（x）=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

．從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而得出函數(shù)的極值，從而求出函數(shù)的零點個數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）m=4 時，f（x）=x-

2

x

-4lnx，
f′（x）=1+

2

x2

-

4

x

，
則有k=f′（1）=-1，且f（1）=1，
故所求切線方程為x+y=0．     
（Ⅱ） f′（x）=1+

2

x2

-

m

x

=

x2-mx+2

x2

（　x＞0　），
因為 f（x）在（0，+∞） 單調(diào)遞增，因此有f′（x）≥0，
即x²-mx+2≥0 在（0，+∞） 恒成立．
當m＞0 時，需m²-8≤0，解得m∈（0，2

2

）．
當m≤0 時，x²-mx+2≥0在 （0，+∞）恒成立，符合題意．
綜上，m∈（-∞，0]∪（0，2

2

]即m∈（-∞，2

2

）． 
（Ⅲ）g（x）=f（x）+（m-3）lnx+1=x-

2

x

+1-3lnx，
 則g′（x）=1+

2

x2

-

3

x

=

(x-1)(x-2)

x2

．
令g′（x）=0，得x=1和x=2．
x、g′（x）與g（x）在（0，+∞）上的情況如下：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

由此可知，g（x）的極大值為g（1）=0，
g（x）的極小值為g（2）=2-3ln2＜0，
且g（3）=

10

3

-2ln3＞0，
故g（x） 在（0，+∞）有兩個零點．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，考查導數(shù)的應用，切線方程，是一道綜合題．