Question

9．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：x²=4y與直線y=kx+a（a＞0）交與M，N兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；
（2）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動時(shí)，總有∠OPM=∠OPN？說明理由．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得交點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，由曲線C：y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：y′=$\frac{x}{2}$，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)斜式即可得出切線方程．
（2）存在符合條件的點(diǎn)（0，-a），設(shè)P（0，b）滿足∠OPM=∠OPN．M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM，PN的斜率分別為：k₁，k₂．直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為x²-4kx-4a=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式可得k₁+k₂=$\frac{k（a+b）}{a}$．k₁+k₂=0?直線PM，PN的傾斜角互補(bǔ)?∠OPM=∠OPN．即可證明．

解答 解：（1）聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}{y=a}\\{y=\frac{{x}^{2}}{4}}\end{array}\right.$，可得$M（2\sqrt{a}，a）$，$N（-2\sqrt{2}，a）$，或$M（-2\sqrt{2}，a）$，$N（2\sqrt{a}，a）$．
∵$y'=\frac{1}{2}x$，故$y=\frac{x^2}{4}$在x=$2\sqrt{2}a$處的到數(shù)值為$\sqrt{a}$，
C在$（2\sqrt{2}a，a）$處的切線方程為$y-a=\sqrt{a}（x-2\sqrt{a}）$，即$\sqrt{a}x-y-a=0$．
故$y=\frac{x^2}{4}$在x=-$2\sqrt{2}a$處的導(dǎo)數(shù)值為-$\sqrt{a}$，
C在$（-2\sqrt{2}a，a）$處的切線方程為$y-a=-\sqrt{a}（x+2\sqrt{a}）$，即$\sqrt{a}x+y+a=0$．
故所求切線方程為$\sqrt{a}x-y-a=0$或$\sqrt{a}x+y+a=0$．
（2）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：
設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線PM，PN的斜率分別為k₁，k₂．
將y=kx+a代入C得方程整理得x²-4kx-4a=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4a．
∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-b}}{x_1}+\frac{{{y_2}-b}}{x_2}$=$\frac{{2k{x_1}{x_2}+（a-b）（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{k（a+b）}{a}$．
當(dāng)b=-a時(shí)，有k₁+k₂=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，
故∠OPM=∠OPN，所以P（0，-a）符合題意．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．