Question

17．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，四邊形ACFE是矩形，且平面ACFE⊥平面ABCD，點(diǎn)M在線段EF上．
（I）求證：BC⊥平面ACFE；
（II）當(dāng)EM為何值時(shí)，AM∥平面BDF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知，若證得AC⊥BC，則據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理即可．轉(zhuǎn)化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易證成立．
（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=N，則面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故應(yīng)有EM：FM=1：2

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，
∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°        
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°，
∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又∵平面ACF⊥平面ABCD，交線為AC，∴BC⊥平面ACFE．
（Ⅱ）當(dāng)EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a時(shí)，AM∥平面BDF．
在梯形ABCD中，設(shè)AC∩BD=N，連接FN，則CN：NA=1：2．
∵EM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a而EF=AC=$\sqrt{3}$a，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，
∴四邊形ANFM是平行四邊形．∴AM∥NF．
又NF?平面BDF，AM?平面BDF．∴AM∥平面BDF．

點(diǎn)評 本題考查線面位置關(guān)系及判定，考查空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力．