Question

【題目】某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為萬元時，銷售量萬件滿足（其中，為正常數）.現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品萬件還需投入成本萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為萬元/萬件.

（1）將該產品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數；

（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）由利潤=銷售額-投入成本-促銷費用，列出式子即可；

（2）由（1）可得，利用基本不等式可得時，取得最大值，再結合，分和兩種情況討論，可求得答案.

（1）由題意知，該產品售價為萬元，，

將代入得，，

整理得.

（2）由，

因為，所以，當且僅當，即時，等號成立，

所以時，.

若，則或時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；

若，則時，，

故在上單調遞增，

所以在時，取得最大值.

即促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大.

綜上所述，當或時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；

當時，促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大.