Question

3．已知直線l：x+2y-2=0．試求：
（1）點P（-2，-1）關(guān)于直線l的對稱點坐標；
（2）直線l關(guān)于點（1，1）對稱的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P'（x₀，y₀），則線段PP'的中點M在對稱軸l上，且PP'⊥l，由此求出點P（-2，-1）關(guān)于直線l的對稱點坐標；
（2）設(shè)直線l關(guān)于點A（1，1）的對稱直線為l'，則直線l上任一點P（x₁，y₁）關(guān)于點A的對稱點P'（x，y）一定在直線l'上，反之也成立，即可直線l關(guān)于點（1，1）對稱的直線方程．

解答 解：（1）設(shè)點P關(guān)于直線l的對稱點為P'（x₀，y₀），
則線段PP'的中點M在對稱軸l上，且PP'⊥l．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{y_0}+1}}{{{x_0}+2}}（-\frac{1}{2}）=-1\\ \frac{{{x_0}-2}}{2}+2•\frac{{{y_0}-1}}{2}-2=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{2}{5}\\{y_0}=\frac{19}{5}\end{array}\right.$即P'坐標為$（\frac{2}{5}，\frac{19}{5}）$．
（2）設(shè)直線l關(guān)于點A（1，1）的對稱直線為l'，則直線l上任一點P（x₁，y₁）關(guān)于點A的對稱點P'（x，y）一定在直線l'上，反之也成立．由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x+{x_1}}}{2}=1\\ \frac{{y+{y_1}}}{2}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2-x\\{y_1}=2-y\end{array}\right.$．
將（x₁，y₁）代入直線l的方程得x+2y-4=0．
∴直線l'的方程為x+2y-4=0．

點評 本題考查直線方程，考查直線的對稱性的運用，屬于中檔題．