【題目】設(shè)數(shù)列:Aa1,a2,…,an,Bb1b2,…,bn.已知ai,bj∈{01}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),定義n×n數(shù)表,其中xij.

(1)若A1,1,1,0,B0,1,0,0,寫出XA,B);

(2)若A,B是不同的數(shù)列,求證:n×n數(shù)表XA,B)滿足“xij=xjii=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij)”的充分必要條件為“ak+bk=1k=1,2,…,n)”;

(3)若數(shù)列AB中的1共有n個(gè),求證:n×n數(shù)表XA,B)中1的個(gè)數(shù)不大于.

【答案】(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)題中給的定義寫出XA,B);

(2)可先證充分性,充分性由定義易證;再證必要性,注意分類討論:先分a1=0a1=1兩類,a1=0較易證明,對(duì)a1=1再分b1=0b1=1兩類證明,運(yùn)用xij分析推理可得;

(3)根據(jù)數(shù)列AB中的1共有n個(gè),設(shè)A1的個(gè)數(shù)為p,則A0的個(gè)數(shù)為np,B1的個(gè)數(shù)為np,B0的個(gè)數(shù)為p.表示出n×n數(shù)表XAB)中1的個(gè)數(shù),再用不等式證得n×n數(shù)表XA,B)中1的個(gè)數(shù)不大于.

(1)解:.

(2)證明:充分性

ak+bk=1k=1,2,…,n),由于xij,xji

Aa1,a2,…,an,由此數(shù)列 B1a1,1a2,…,1an.

由于 ai=bjai=1ajai+aj=1aj=1aiaj=bi.

從而有 xij=xjii=12,…,n;j=12,…,n;ij.

必要性

xij=xjii=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij.

由于A,B是不同的數(shù)列,

設(shè)a1=1,b1=0,對(duì)任意的正整數(shù)k1,

①若x1k=xk1=1,可得 a1=bk=1,ak=b1=0

所以 ak+bk=1.

②若x1k=xk1=0,可得 bk=0ak=1,

所以ak+bk=1.

同理可證 ,b1=1時(shí),有ak+bk=1k=12,…,n)成立.

設(shè)a1=1,b1=1,對(duì)任意的正整數(shù)k1,

①若x1k=xk1=1,可得a1=bk=1ak=b1=1,

所以有ak=bk=1,則A,B是相同的數(shù)列,不符合要求.

②若x1k=xk1=0,可得bk=0,ak=0,

所以有ak=bk,則AB是相同的數(shù)列,不符合要求.

同理可證 a1=0,b1=0時(shí),A,B是相同的數(shù)列,不符合要求.

綜上,有n×n數(shù)表XAB)滿足“xij=xji”的充分必要條件為“ak+bk=1k=1,2,…,n)”.

(3)證明:由于數(shù)列AB中的1共有n個(gè),設(shè)A1的個(gè)數(shù)為p,

由此,A0的個(gè)數(shù)為np,B1的個(gè)數(shù)為np,B0的個(gè)數(shù)為p.

ai=1,則數(shù)表XAB)的第i行為數(shù)列Bb1,b2,…,bn,

ai=0,則數(shù)表XA,B)的第i行為數(shù)列B1b1,1b2,…,1bn,

所以 數(shù)表XA,B)中1的個(gè)數(shù)為.

所以 n×n數(shù)表XA,B)中1的個(gè)數(shù)不大于.

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