【題目】若關(guān)于x的不等式e2x﹣alnxa恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[0,2e]B.(﹣∞,2e]C.[0,2e2]D.(﹣∞,2e2]
【答案】C
【解析】
討論a<0時,f(x)=e2x﹣alnx無最小值,不符題意;檢驗a=0時顯然成立;討論a>0時,求得f(x)的導數(shù)和極值點m、極值和最值,解不等式求得m的范圍,結(jié)合a=2me2m,可得所求范圍.
解:當a<0時,f(x)=e2x﹣alnx為(0,+∞)的增函數(shù)(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)),此時時,f(x),所以不符合題意;
當a=0時,e2x﹣alnxa即為e2x≥0顯然成立;
當a>0時,f(x)=e2x﹣alnx的導數(shù)為=2e2x,
由于y=2e2x在(0,+∞)遞增(增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)),
設=0的根為m,即有a=2me2m,.
當0<x<m時,<0,f(x)單調(diào)遞減;當x>m時,>0,f(x)單調(diào)遞增,
可得x=m處f(x)取得極小值,且為最小值e2m﹣alnm,
由題意可得e2m﹣alnma,即alnma,
化為m+2mlnm≤1,設g(m)=m+2mlnm,=1+2(1+lnm),
所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
當m=1時,g(1)=1,當時,.
可得m+2mlnm≤1的解為0<m≤1,
設
所以函數(shù)在單調(diào)遞增.
則a=2me2m∈(0,2e2],
綜上可得a∈[0,2e2],
故選:C.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】人們通常以分貝(符號是)為單位來表示聲音強度的等級,30~40分貝是較理想的安靜環(huán)境,超過50分貝就會影響睡眠和休息,70分貝以上會干擾談話,長期生活在90分貝以上的嗓聲環(huán)境,會嚴重影響聽力和引起神經(jīng)衰弱、頭疼、血壓升高等疾病,如果突然暴露在高達150分貝的噪聲環(huán)境中,聽覺器官會發(fā)生急劇外傷,引起鼓膜破裂出血,雙耳完全失去聽力,為了保護聽力,應控制噪聲不超過90分貝,一般地,如果強度為的聲音對應的等級為,則有,則的聲音與的聲音強度之比為( )
A.10B.100C.1000D.10000
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是定義域為的奇函數(shù),且它的最小正周期是T,已知,.給出下列四個判斷:①對于給定的正整數(shù),存在,使得成立;②當a時,對于給定的正整數(shù),存在,使得成立;③當時,函數(shù)既有對稱軸又有對稱中心;④當時,的值只有0或.其中正確判斷的有( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列:A:a1,a2,…,an,B:b1,b2,…,bn.已知ai,bj∈{0,1}(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n),定義n×n數(shù)表,其中xij.
(1)若A:1,1,1,0,B:0,1,0,0,寫出X(A,B);
(2)若A,B是不同的數(shù)列,求證:n×n數(shù)表X(A,B)滿足“xij=xji(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n;ij)”的充分必要條件為“ak+bk=1(k=1,2,…,n)”;
(3)若數(shù)列A與B中的1共有n個,求證:n×n數(shù)表X(A,B)中1的個數(shù)不大于.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣sinx+ax(a>0).
(1)若a=1,求證:當x∈(1,)時,f(x)<2x﹣1;
(2)若f(x)在(0,2π)上有且僅有1個極值點,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三棱錐中,,△為等邊三角形,二面角的余弦值為,當三棱錐的體積最大時,其外接球的表面積為.則三棱錐體積的最大值為( )
A.B.C.D.
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