Question

已知A，B是拋物線C：y²=4x上的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的垂心恰好是拋物線C的焦點(diǎn)F，則直線AB的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線的對(duì)稱性知A、B關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)出它們的坐標(biāo)，利用三角形的垂心的性質(zhì)，結(jié)合斜率之積等于-1即可解決．

解答： 解：由拋物線的對(duì)稱性知，A、B關(guān)于x軸對(duì)稱．
設(shè)直線AB的方程是x=m，則A（m，2

m

）、B（m，-2

m

）
∵△AOB的垂心恰好是拋物線的焦點(diǎn)F（1，0 ）
∴AF⊥OB，K_AF•K_OB=-1，
∴

2 m

m-1

•

-2 m

m

=-1
∴m=5，∴直線AB的方程是x=5．
故答案為：x=5．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、三角形垂心性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．