Question

2．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B為曲線y=$\sqrt{x}$上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6，則直線AB與圓x²+y²=$\frac{4}{9}$的位置關(guān)系是（　�。�

• A． 相交
• B． 相離
• C． 相交或相切
• D． 相切或相離

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A，B在曲線y=$\sqrt{x}$上不同兩點(diǎn)，從而設(shè)出A，B坐標(biāo)：A（${x}_{1}，\sqrt{{x}_{1}}$），$B（{x}_{2}，\sqrt{{x}_{2}}）$，而由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=6可得到x₁x₂=4，能夠?qū)懗鲋本�AB的方程，從而求出圓心即原點(diǎn)到直線AB的距離和圓半徑$\frac{2}{3}$比較即可判斷出直線和圓的位置關(guān)系．

解答 解：設(shè)A（${x}_{1}，\sqrt{{x}_{1}}$），$B（{x}_{2}，\sqrt{{x}_{2}}）$；
∴由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=6$得：
${x}_{1}{x}_{2}+\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}=6$，設(shè)$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}=t，t＞0$，則：
t²+t-6=0，解得t=2，或t=-3（舍去）；
∴x₁x₂=4；
直線AB的斜率為k=$\frac{\sqrt{{x}_{2}}-\sqrt{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}$；
∴直線AB的方程為：$y-\sqrt{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}（x-{x}_{2}）$；
∴原點(diǎn)到該直線的距離為$\frac{|\frac{{x}_{2}}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}-\sqrt{{x}_{2}}|}{\sqrt{（\frac{1}{\sqrt{{x}_{2}}+\sqrt{{x}_{1}}}）^{2}+1}}$=$\frac{2}{\sqrt{{x}_{1}+{x}_{2}+5}}$$＜\frac{2}{3}$；
∴直線AB與圓${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{4}{9}$的位置關(guān)系為相交．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)曲線方程設(shè)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方法，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，解一元二次方程，以及由兩點(diǎn)坐標(biāo)寫直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系．