Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且點（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）在直線y=x上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜2，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）將點（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）代入直線y=x，得${S}_{n}={n}^{2}+n$，從而可得a_n=n²+n-（n²-n）=2n；
（2）由（1）及裂項法、放縮法可得$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，利用并項法相加即可．

解答 （1）解：∵點（n+1，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N^*）在直線y=x上，
∴${S}_{n}={n}^{2}+n$，
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1）=n²-n，
∴a_n=n²+n-（n²-n）=2n；
（2）證明：∵a_n=2n，
∴$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$
=2-$\frac{1}{n}$＜2，
即$\frac{4}{{{a}_{1}}^{2}}$+$\frac{4}{{{a}_{2}}^{2}}$+…+$\frac{4}{{{a}_{n}}^{2}}$＜2，n∈N^*．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，利用裂項法、放縮法、并項法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．