Question

11．若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}a{x^2}+1，x≥0\\（{a^2}-1）{e^{ax}}，x＜0\end{array}$（a≠±1），在定義域（-∞，+∞）上是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [-$\sqrt{2}$，-1）∪[${\sqrt{2}$，+∞）
• C． （-∞，-$\sqrt{2}}$]∪（1，$\sqrt{2}}$]
• D． （0，$\frac{2}{3}}$）∪[${\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，通過分類討論，即可求得答案．

解答 解：由題意得：①若f（x）在R上單調(diào)遞增，
則根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)的性質(zhì)，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a^2}-1＞0}\\{{a^2}-1≤1}\end{array}}\right.$，
∴1＜a≤$\sqrt{2}$；
②若f（x）在R上單調(diào)遞減，
則根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及復合函數(shù)的性質(zhì)，可得$\left\{{\begin{array}{l}{a＜0}\\{{a^2}-1＞0}\\{{a^2}-1≥1}\end{array}}\right.$，
∴a≤-$\sqrt{2}$．
綜上，$1＜a≤\sqrt{2}或a≤-\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義，考查學生的計算能力和分類討論的能力，屬于中檔題．