Question

19．已知AB為單位圓上的弦，P為單位圓上的點(diǎn)，若f（λ）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|的最小值為m（其中λ∈R），P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，m的最大值為$\frac{3}{2}$，則|$\overrightarrow{AB}$|的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CP}$，而點(diǎn)C在直線AB上，則問(wèn)題即是求動(dòng)點(diǎn)P到直線AB上的點(diǎn)C距離的最值問(wèn)題，則CP⊥AB時(shí)，距離最小，由CP過(guò)圓心O時(shí)，取得最大值，再由垂徑定理和勾股定理，即可得到AB的長(zhǎng)．

解答 解：設(shè)λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BC}$，則$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{BP}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{CP}$，
又C點(diǎn)在直線AB上，
要求f（λ）=|$\overrightarrow{BP}$-λ$\overrightarrow{BA}$|的最小值，
即求|$\overrightarrow{CP}$|的最小值，顯然當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，
可得f（λ）的最小值m為點(diǎn)P到AB的距離
又m的最大值為$\frac{3}{2}$，可得CP過(guò)圓心O時(shí)m取得最大值，
即有|$\overrightarrow{AB}$|=2$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{3}{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量共線定理的運(yùn)用，以及圓的垂徑定理和勾股定理的運(yùn)用，同時(shí)考查最值的求法，注意運(yùn)用幾何方法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．