Question

10．已知F₁、F₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)M，使得（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，則雙曲線離心率為$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)向量關(guān)系求出F₁M⊥MF₂，結(jié)合雙曲線的定義以及直角三角形的邊角關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)C是MF₂的中點(diǎn)，
∵（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0
∴2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=0
即OC⊥MF₂，
即OM=OF₂
∵OC∥F₁M，
∴F₁M⊥MF₂，
∵|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，
∴|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|-|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=2a
則|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\frac{2a}{\sqrt{3}-1}$=（$\sqrt{3}$+1）a，
|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$+1）a，
∵|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|²=4c²，
∴4（$\sqrt{3}$+1）²a²=4c²，
即（$\sqrt{3}$+1）²a²=c²，
即（$\sqrt{3}$+1）a=c，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$+1，
故答案為：$\sqrt{3}$+1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)向量關(guān)系判斷F₁M⊥MF₂，是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．