Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，，為動點，且直線與直線的斜率之積為.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設過點的直線與曲線相交于不同的兩點，.若點在軸上，且，求點的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設動點的坐標為，由題可得，化簡即得動點的軌跡的方程；

（2）當直線的斜率不存在時，知點的縱坐標為0；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立可得，依條件求出直線的垂直平分線，算出點的縱坐標，即可求出范圍.

（1）設動點的坐標為，，依題意可知，

整理得，所以動點的軌跡的方程為

（2）當直線的斜率不存在時，滿足條件的點的縱坐標為0；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為.

將代入并整理得，

，

，

設，，則，

設的中點為，則，，

所以

由題意可知，

又直線的垂直平分線的方程為.

令解得，

當時，因為，所以，

當時，因為，所以，

綜上所述，點縱坐標的取值范圍是.