Question

17．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³+ax+1，y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線過點(diǎn)（1，-7），則a=-13．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可得到結(jié)論．

解答 解：若x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x³+ax+1，
∴當(dāng)-x≥0時(shí)，f（-x）=-x³-ax+1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=-x³-ax+1=f（x），
即f（x）=-x³+ax-1，x＜0，
∵y=f（x）的圖象在點(diǎn)（-1，f（-1））處的切線過點(diǎn)（1，-7），
∴f（-1）=1-a-1=-a，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-a）
∴f′（x）=3x²+a，則f′（-1）=3+a，則切線斜率k=3+a，
則切線方程為y+a=（3+a）（x+1），
∵切線過點(diǎn)（1，-7），
∴-7+a=2（3+a）=6+2a，即a=-13，
故答案為：-13

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的切線方程是解決本題的關(guān)鍵．