Question

若函數(shù)f（x）=

1

2

+bcosx+csinx的圖象過兩點(diǎn)（0，1），（

π

2

，1）．
（1）求b，c的值，并化簡(jiǎn)f（x）；
（2）求函數(shù)f（x）的圖象的兩條對(duì)軸之間的最短距離；
（3）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)圖象過點(diǎn)（0，1）和（

π

2

，1），可解得b=

1

2

，c=

1

2

，從而化簡(jiǎn)f（x）；
（2）由周期公式可得T=

2π

1

=2π，故函數(shù)f（x）的圖象的兩條對(duì)軸之間的最短距離是π．
（3）由x∈[0，

π

2

]，可得x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，即可求出函數(shù)f（x）的最小值．

解答： 解：（1）已知函數(shù)f（x）=

1

2

+bcosx+csinx的圖象過點(diǎn)（0，1）和（

π

2

，1），
則

1

2

+b=1，

1

2

+c=1，可解得b=

1

2

，c=

1

2

∴f（x）=

1

2

+

2

2

sin（x+

π

4

），
（2）由周期公式可得T=

2π

1

=2π，故函數(shù)f（x）的圖象的兩條對(duì)軸之間的最短距離是π．
（3）∵x∈[0，

π

2

]
∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]
∴f（x）_min=f（

π

4

）=

1

2

+

2

2

sin

π

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的最值的求法，屬于基本知識(shí)的考查．