Question

16．在平面直角坐標系中，已知點A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），直線MA，MB相交于點M，它們的斜率之積為常數(shù)m（m≠0），且△MAB的面積最大值為$\sqrt{3}$，設動點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過曲線E外一點Q作E的兩條切線l₁，l₂，若它們的斜率之積為-1，那么$\overrightarrow{QA}$$•\overrightarrow{QB}$是否為定值？若是，請求出該值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設M（x，y），由題意和斜率公式列出方程并化簡，根據(jù)題意求出曲線E的方程；
（Ⅱ）設Q（x₀，y₀），由曲線E的方程和題意畫出圖象，由圓的切線的性質(zhì)求出OQ，由兩點之間的距離公式列出式子，由向量的坐標運算和數(shù)量積運算化簡$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$，即可求出$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$為定值．

解答 解：（Ⅰ）設M（x，y），且A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}$，0），
由題意得k_MA•k_MB=m，即$\frac{y-0}{x+\sqrt{3}}•\frac{y-0}{x-\sqrt{3}}=m$（$x≠±\sqrt{3}$），
化簡得，y²=m（x²-3）（m≠0），則mx²-y²=3m（$x≠±\sqrt{3}$），
∵△MAB的面積最大值為$\sqrt{3}$，∴$|y|≤\sqrt{3}$，
∴當m=-1時，方程為x²+y²=3滿足條件，
則曲線E的方程是x²+y²=3（$x≠±\sqrt{3}$）；
（Ⅱ）$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$是定值，設Q（x₀，y₀），
由（Ⅰ）知曲線E：
原點為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓（除A，B點），
∵過E外一點Q作E的兩條切線l₁，l₂，且它們的斜率之積為-1，
∴l(xiāng)₁⊥l₂，切點分別是M和N，即QN⊥QM，如圖所示：
連接OM、ON、OQ，
由圓的切線的性質(zhì)得，ON⊥NQ，OM⊥MQ，
∴△ONQ≌△OMQ，則△ONQ是等腰直角三角形，
∵0N=$\sqrt{3}$，∴OQ=3，即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}=9$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$=（$-\sqrt{3}$-x₀，-y₀）•（$\sqrt{3}-$x₀，0-y₀）
=${{x}_{0}}^{2}-3+{{y}_{0}}^{2}=9-3=6$，
∴$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}$是定值為6．

點評 本題考查軌跡方程的求法，斜率公式、兩點之間的距離公式，圓的切線的性質(zhì)，以及向量的坐標運算和數(shù)量積運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，化簡、變形能力，分析問題、解決問題的能力．