Question

已知橢圓過(guò)和點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．

 

Answer 1

（1）;（2）．

【解析】

試題分析：（1）由已知將已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓Ｇ的方程中，可得到關(guān)于的方程組，解此方程組就可求得的值，進(jìn)而就可寫出橢圓Ｇ的方程．（２）首先注意到由題意可得到直線的斜率存在，且．從而可用斜截式設(shè)出直線的方程，代入橢圓Ｇ的方程消元得到一個(gè)一元二次方程，則此方程一定有兩個(gè)不同的解，所以，可得到的取值范圍；再由，得到，結(jié)合韋達(dá)定理可用的代數(shù)式表示出線段ＭＮ的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由就可求出的值，從而求得直線的方程．

試題解析：（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．

所以，由，得．

所以橢圓的方程為 4分

（2）顯然直線的斜率存在，且．設(shè)直線的方程為．

由消去并整理得， 5分

由， 7分

設(shè)，，中點(diǎn)為，

得， 8分

由，知，

所以，即．

化簡(jiǎn)得，滿足．所以 12分

因此直線的方程為 14分

考點(diǎn)：１．橢圓的的方程；２．直線與橢圓的位置關(guān)系．