Question

20．如圖，四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，M是PC的中點(diǎn)，AM與平面PBD交于點(diǎn)E，且AE=EM．
（1）證明：CD=2AB；
（2）若PB=BC且平面PBC⊥平面PDC，證明：PA=AD．

Answer 1

分析 （1）取CD，BC的中點(diǎn)N，O，連接MN，ON，MN，AN，證明平面PDB∥平面MNO，利用AM與平面PBD交于點(diǎn)E，且AE=EM，可得AQ=QN，即可證明CD=2AB；
（2）取PD的中點(diǎn)G，連接AG，證明AG⊥平面PDC，即可證明PA=AD．

解答 證明：（1）取CD，BC的中點(diǎn)N，O，連接MN，ON，MN，AN，則
∵M(jìn)N∥PD，ON∥BD，MN∩ON=N，PD∩BD=D，
∴平面PDB∥平面MNO，
∵AM與平面PBD交于點(diǎn)E，且AE=EM，
∴AQ=QN，
∴AB=DN，
∵CD=2DN，
∴CD=2AB；
（2）∵PB=BC，M是PC的中點(diǎn)，
∴BM⊥PC，
∵平面PBC⊥平面PDC，平面PBC∩平面PDC=PC，
∴BM⊥平面PDC，
取PD的中點(diǎn)G，連接AG，則AGMB是平行四邊形，
∴AG∥BM，
∴AG⊥平面PDC，
∴AG⊥PD，
∵PD的中點(diǎn)為G，
∴PA=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的判定與性質(zhì)，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．