Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，2a₁，S_n+1，S_n成等差數(shù)列．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想通項(xiàng)S_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）通過2a₁，S_n+1，S_n成等差數(shù)列可知S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a₁，利用₁=1代入計(jì)算即得結(jié)論；
（2）通過（1）猜想通項(xiàng)S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）∵2a₁，S_n+1，S_n成等差數(shù)列，
∴S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a₁，
又∵a₁=1，
∴S₁=a₁=1，
S₂=$\frac{1}{2}$S₁+a₁=$\frac{3}{2}$，
S₃=$\frac{1}{2}$S₂+a₁=$\frac{7}{4}$，
S₄=$\frac{1}{2}$S_n+a₁=$\frac{15}{8}$；
（2）猜想通項(xiàng)S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．
證明如下：
①當(dāng)n=1時(shí)，命題顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，有S_k=$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$，
則S_k+1=$\frac{1}{2}$S_k+a₁
=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{k}-1}{{2}^{k-1}}$+1
=$\frac{{2}^{k}-1+{2}^{k}}{{2}^{k}}$
=$\frac{{2}^{k+1}-1}{{2}^{k}}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立；
由①、②可知S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n-1}}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查數(shù)學(xué)歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．