Question

如圖，過圓x²+y²=4與x軸的兩個交點A、B作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD與C、D兩點，設(shè)AD、BC的交點為R．
（I）求動點R的軌跡E的方程；
（II）設(shè)E的上頂點為M，直線l交曲線E于P、Q兩點，問：是否存在這樣的直線l，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為動點R為動直線直線AD、BC的交點，所以可用消參法求R的軌跡方程．先設(shè)點H（x，y），求出A，B，C，D四點坐標(biāo)，則可得到含參數(shù)x，y的直線AD，BC方程，再消去參數(shù)，即可得到求動點R的軌跡E的方程．
（II）假設(shè)存在直線l交曲線E于P、Q兩點，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心．則MG為△PQM在邊PQ上的高線所在直線，MG⊥PQ，又因為kMG=-1，所以k_PQ=1，這樣，就可設(shè)出直線MQ的方程為y=x+m，與曲線E的方程聯(lián)立，消y，得到關(guān)于x的一元二次方程，求兩根之和，兩根之積．又因為點G（1，0）恰為△PQM的垂心，所以MP⊥GQ，∴=0，得到含x₁，x₂的方程，根據(jù)前面所求的x₁+x₂，x₁x₂，就可求m的值，如能求出，則m存在，否則，m不存在
解答：解：（I）則x²+y²=4，
由題意可知，y≠0，且以H為切點的圓的切線斜率為：-
故切線方程為：y-y=-（x-x），
展開得，xx+yy=x²+y²即以H為切點的圓的方程為xx+yy=4
∵A（-2，0），B（2，0）將x=±2代入上述方程可得點C，D坐標(biāo)分別為C（-2，）D（2，）
則l_AD：，l_BC：兩式相乘，可消x，y，
化簡得動點R的軌跡E的方程為
（II）假設(shè)存在直線l交曲線E于P、Q兩點，使點G（1，0）恰為△PQM的垂心．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₁，y₂）∵M(jìn)（0，1），G（1，0），MG⊥PQ，∴k_PQ=1
設(shè)直線l為y=x+m，與曲線E的方程聯(lián)立，消y，得5x²+8mx+4m²-4=0
由△=（8m）²-4×5（4m²-4）＞0得
x₁+x₂=m，x₁x₂=（m²-1）
又∵M(jìn)P⊥GQ，∴=0
∴x₁（x₂-1）+y₁（y₂-1）=0
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=，0即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m-1）+m²-m=0
∴（m²-1）-m（m-1）+m²-m=0即5m2-3m-8=0
解得m=1或m=-
檢驗：當(dāng)m=1時，l過M點，構(gòu)不成三角形，舍去．當(dāng)m=-時，符合條件
故直線l的方程為y=x-
點評：本題考查了消參法求動點軌跡方程，以及直線與橢圓位置關(guān)系的判斷，計算量較大，應(yīng)認(rèn)真計算．