Question

下面命題中正確的是________（寫出所有正確　命題的編號）．①?x∈R，e^x≥ex；②若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，則f（2）的值用二進制表示為111101；③若a＞0，b＞0，m＞0，則；④函數(shù)y=xlnx與在點（1，0）處的切線相同．

Answer 1

解：對于①：設(shè)f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0得x＞1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1]，∴f（x）＞f（1），即?x∈R，e^x≥ex
故①正確．
②二進制111101即：2⁵+2⁴+2³+2*2+1=f（2）
故正確；
③：∵-==
∵a＞b＞0，m＞0，∴a-b＞0，a+m＞0
∴＞0
∴＞
故③正確；
④：函數(shù)y=xlnx求導(dǎo)得：y′=lnx+1，
把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得：y′_|x=1=ln1+1=1，
則所求相切得斜率為1．
，
y'（1）=1
又當x=1時y=0
∴切線方程為y=x-1
切線相同，故④正確．
故答案為：①②④
分析：對于①用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令其大于0，利用單調(diào)性即可證得．
對于②根據(jù)二進制表示為111101的表示主式即可進行判斷；
對于③根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，比較大小的方法是做差，只需將比較的兩個分式做差與零比較大小即可． -=與零比較即可求出．
對于④利用求導(dǎo)法則，以及（lnx）′=，求出函數(shù)解析式的導(dǎo)函數(shù)，然后把切點的橫坐標x=1代入導(dǎo)函數(shù)中，求出的導(dǎo)函數(shù)值即為所求切線即得．
點評：此題只要知道不等式的基本性質(zhì)，學(xué)生要用做差進行因式分解與0進行比較即可．此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線方程上某點切線方程的斜率，求導(dǎo)法則運用，以及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法，熟練掌握求導(dǎo)法則是解本題的關(guān)鍵．