Question

設等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足條件S₈=36，a₃=3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n

，若對任意正整數(shù)n∈N^*，log₂（

1

4

x²+x）-b_n＞0恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的前n項和公式和通項公式根據(jù)已知條件求出首項和公差，由此能求出a_n=n．
（2）由已知條件推導出{b_n}為遞減數(shù)列，從而得到（b_n）_max=b₁=

3

2

，由此得到

1

4

x2+x＞2

3

2

=2

2

，從而能求出x的取值范圍．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足條件S₈=36，a₃=3，
∴

8a1+ 8×7 2 d=36 a1+2d=3

，
解得a₁=1，d=1，∴a_n=n．
（2）∵b_n=

1

an

+

1

an+1

+…+

1

a2n

=

1

n

+

1

n+1

+…+

1

2n

，
∴b_n+1-b_n=

1

2n+2

+

1

2n+1

-

1

n

=（

1

2n+2

-

1

2n

）+（

1

2n+1

-

1

2n

）＜0，
∴{b_n}為遞減數(shù)列，∴（b_n）_max=b₁=1+

1

2

=

3

2

，
∵log2(

1

4

x2+x)-bn＞0恒成立，
∴log2(

1

4

x2+x)＞bmax=

3

2

，
∴

1

4

x2+x＞2

3

2

=2

2

，
∴x2+4x-8

2

＞0，
解得：x＞-2+2

1+2 2

或x＜-2-2

1+2 2

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)列的單調(diào)性的靈活運用．